잘못된 수학 공부방법
아이들이 왜 중고등학교에서 수포자가 되는지를 개념 학습이라는 측면에서 이야기 해 보겠습니다. 대학교 수학 수업은 대학교에서 개념을 정의와 정리를 뜻합니다. 교수님들이 개념을 설명해 준 다음에 대부분의 시간을 정리를 증명하는 과정을 통해서 거의 다 보냅니다. 교수님들 같은 경우 기본적인 수업 구조가 정의하고 이 정의로부터 나오게 되는 여러 정리들을 말씀해 주신 다음에 그 정리들이 왜 성립하는지를 증명하는데 한 시간이 걸릴 때도 있고 두 시간이 걸릴 때도 있습니다. 증명들을 하는데 거의 시간을 보내는 것입니다. 정의와 정리 그다음에 정의에 대한 증명을 배웠으면 그것들을 이해함과 동시에 왜 그러는지를 암기를 하는 겁니다. 여기서 암기라는 것은 그냥 단순하게 암기하는 게 아니라 논리적인 구조를 하나씩 이해해가지고 이렇게 써볼 수 있는 형태의 암기를 뜻하는 그런 개념입니다. 누군가에게 그거를 나도 설명할 수 있을 정도로 증명들을 암기를 하는 겁니다. 그러고 나서 시험에서는 그런 정리들을 정확히 이해했는지를 물어보는 문제들이 나오는 겁니다. 이는 수학을 배울 때 그만큼 어떤 개념들을 배웠으면 이 개념이 왜 성립하는지에 대한 원리를 이해하는 게 굉장히 중요하다는 겁니다. 그래서 수학 공부의 핵심은 why에서 출발한다고 보면 됩니다. 이게 왜 그렇지? 이게 왜 성립하지 이게 수학 공부의 출발점입니다. 그런데 아이들이 초등학교 때 대부분 잘못된 방식으로 개념 공부를 합니다. 잘못된 벙법이라는 건 뭐냐 하면 마치 사회 과학을 공부하듯이 그냥 받아들이는 형태의 공부를 하는 겁니다. 정의라는 것은 받아들인 게 맞습니다. 예를 들면 각이라는 것은 두 반직선이 이루는 도형을 뜻한다. 이렇게 정의가 돼 있으면 그걸 받아들이는 것입니다.
제대로 된 수학 공부방법
개념에는 정의 말고 어떤 정리도 있습니다. 개념에서 확장이 되는 새로운 어떤 내용들이 있고 그런 것들까지 아이들이 그냥 그런가 보다 하고 받아들인다는 게 문제입니다. 근데 그것에 대한 근본적인 원인으로는 잘못된 교습 방식도 있습니다. 대부분 초등부 선생님들이나 혹은 어머님들이 아이들을 지도할 때 본인들도 정확하게 잘 모르기 때문에 원리들을 설명하지 않고 그냥 이것은 이거다 이렇게 얘기를 합니다. 아이들이 수학의 개념이라는 것을 무조건 약속이라고만 생각을 합니다. 잘못된 것입니다. 약속이라는 것은 그냥 그렇게 하기로 넘어가는 겁니다. 어떤 논리적인 이유가 없습니다. 그런데 아이들이 수학 개념을 다 그런 식으로 받아들인다는 겁니다. 이게 문제가 되는 것입니다. 왜냐하면 그런 식으로 교습을 받아왔기 때문에 그런 경우가 많이 생깁니다. 예를 들면 배수 판정법이라는 개념이 있습니다. 5학년 1학기에 약수와 배수를 배우면 약수와 배수에서 확장된 개념으로 보통 최상위나 심화 교재에 소개되어 있는 배수판정법이라는 개념이 있는데 대부분 어머님들이나 혹은 초등부 학원 강사들은 그 배수판정법이 왜 그게 성립하는지 잘 모른 채 그냥 이거는 이거야 2의 배수는 이렇게 판정하면 돼 4의 배수는 이렇게 판정하면 돼 그런 식으로 개념을 전달만 하고 아이한테 문제를 거기에 적용해서 풀라고만 시킵니다. 그러면 아이들은 그냥 그런가 보다 하고 받아들이고 마치 이걸 정의 같이 받아들이는 것입니다. 절대로 정의가 아닙니다. 약수와 배수라는 어떤 정의가 있으면 거기에서 확장이 되는 어떤 이론들입니다. 정리에 해당됩니다. 아이들은 일일이 그것이 왜 그런지를 증명을 하거나 원리를 설명을 해서 그걸 이해를 해야 되는데 교습자들이 그런 식으로 가르쳐 주지 않고 이걸 마치 정의같이 약속같이 얘기를 하기 때문에 초등학교에서 올라온 중학생들을 한번 가르쳐 보면 항상 질문하는 게 얘들이 어디서 약속이라는 말은 많이 들어서 "선생님 이게 약속이에요?" 이런 말을 굉장히 많이 합니다. 약속이라는 것은 수학에서 정의밖에 없습니다. 굉장히 적은 겁니다. 정의가 되면 그 정의로부터 파생되는 모든 것들은 다 증명이 가능한 어떤 원리 또는 정리에 해당이 되는 겁니다. 근데 그런 부분에 대해서 명확하게 설명 없이 무조건 암기하듯이 아이들이 초등학교 때부터 그렇게 공부를 하는 겁니다. 예를 들어 분수의 나눗셈에서 분모 분자를 거꾸로 해서 곱한다. 약속같이 정의같이 그렇게 합니다. 그런데 초등학교 교과서나 교사용 지도서를 보면 그 부분을 논리적으로 설명하기 위해서 굉장히 많은 페이지를 할애해서 단위 비율 결정이라는 개념과 등분제 나눗셈의 개념을 이용해서 그 부분을 설명을 합니다. 그리고 그전에 교사용 지도서를 초등학교 3학년 때 그런 걸 읽어보면 아이들한테 나눗셈을 지도할 때 나눗셈이라는 개념이 포함제 나눗셈도 있고 등분제 나눗셈도 있는데 두 가지를 동시에 꼭 가르쳐줘야 한다. 그래서 등분제 나눗셈이라는 개념을 알려줘야지만 나중에 분수의 나눗셈에서 거꾸로 곱하는 것을 논리적으로 설명을 할 때 필요하다. 이렇게 나와 있습니다. 물론 포함제 나눗셈을 가지고 그냥 분수의 나눗셈을 그냥 하는 방법도 있습니다. 곱하기로 고치지 않고 그래서 포함제 나눗셈이라는 개념도 필요하지만 등분제 나눗셈이라는 개념도 이런 부분에서 필요하다고 해서 굉장히 섬세하게 교사용 지도서에 다 실어져 있습니다.
개념을 원리적으로 이해하기
그러면 그런 개념과 원리와 절차에 맞춰서 아이들이 그거를 배우고 아 그래서 이렇구나 라는 것을 납득해서 공부를 해야지 아이들은 수학이라는 과목을 공부할 때 본인 조금이라도 이해가 안 되면 왜 이렇지 라는 것을 질문하면서 그런 부분들에 대해서 탐구하려는 노력을 하게 된다는 것입니다. 이렇게 커 온 아이들이 중학교 과정이나 고등학교 과정을 배우게 되면 똑같은 형태로 공부를 해서 수학을 못하게 됩니다. 중고등학교는 개념이 많아지기 때문에 이 개념 자체가 왜 성립하는지를 모르고 단순하게 암기를 하면 다 암기할 수도 없고 암기했다가도 금방 잊어버리게 됩니다. 그러고 암기해서 공부하는 것은 문제가 조금이라도 변형이 되거나 내가 암기한 방식과 다르게 문제가 나오면 본인이 유도해서 풀 수가 없기 때문에 무조건 틀리게 되어 있습니다. 예를 들어 평행사변형의 정의가 있으면 거기서 나오는 성질들을 삼각형이 합동 조건이라는 개념을 가지고 일일이 다 증명을 할 수 있어야지만 아이들이 문제를 정확하게 풀어 나갈 수 있고 변형된 문제도 잘 풀 수가 있습니다. 그런데 대부분의 아이들은 그걸 마치 정의같이 정의는 평행사변형의 두 쌍의 대변이 평행하다 그것만 정의인데 나머지 그러한 어떤 성질들조차도 정의 같이 그냥 받아들여서 암기해서 문제를 풀기 때문에 실력이 안 늘고 조금만 변형이 돼도 문제를 못 푸는 것입니다. 개념을 배웠으면 그것이 성립하는 원리를 정확하게 이해하고 공부하는 습관이 안 되어 있는 것입니다. 그런데 문제는 이런 아이들을 변화시키려고 중학교 고등학교 때부터 변화를 시키려고 해도 굉장히 잘 안 변합니다. 아이들이 편하게 공부하는 방법에 익숙해져서 그냥 공식 대충 암기해서 문제 풀고 그리고 또 틀리고 또 틀리면 대충 풀어가지고 문제 또 찍어서 맞거나 또 틀리거나 이런 것들이 반복이 됩니다. 그래서 문제집을 계속 풀어도 정답률이 올라가지 않습니다. 정확히 모르기 때문입니다. 아이들은 계속 그렇게 공부를 합니다. 그럼 이것은 아이들이 선생님들이 설명한 개념 원리들을 똑같이 설명할 수 있어야 합니다. 가장 좋은 방법이 묻고 답하기인데 어머님들이 생각하듯이 그냥 어떤 개념들을 묻고 답하기가 아니라 그 개념이 성립하는 원리도 묻고 답하기가 돼야 합니다. 중등과정 같은 경우 한페이지를 아이들이 정확하게 증명을 하고 원리를 설명할 수 있을 때까지 시키는데 한시간 정도 걸립니다. 이런 식으로 개념과 그 개념이 성립하는 원리까지 정확하게 설명할 수 있을 정도까지 되고 나서 교재를 풀리면 정답률이 높아집니다. 개념 공부부터 안되는 아이들은 기본적으로 열심히 하지 않고 자기 주도성도 없고 동기부여도 많이 부족합니다. 그렇기 때문에 이런 방법으로 너는 문제점이 있으니까 이렇게 하면 좋아 얘기를 해도 한 귀로 듣고 흘립니다. 수학을 못하는 아이들은 본인들이 뭔가 열심히 하지 않아서 못하는 겁니다. 굉장히 수동화되게 길들여지고 바꿀 의욕이 없는 겁니다. 개념공부를 할 때는 항상 핵심이 왜 그런지 왜 성립하는지 그 부분에 신경을 써서 학생들을 지도해야 합니다. 그래야 아이들은 이게 왜 성립하는지 항상 알고 넘어가는 습관이 들어야 중등과정을 가고 고등과정을 가도 이게 왜 그런지를 따져가면서 공부를 하기 때문에 수학을 잘할 수 있습니다. 그래서 연산을 먼저 하고 개념 하는 것을 반대합니다. 일단 개념을 정확하게 아이들이 먼저 이해해서 왜 그런지를 이해하고 그러고 나서 단순 계산인 연산을 배우는 것을 추천합니다. 아이들이 뭔가를 배울 때 원리를 모른 채 가르쳐주지 말고 원리를 알려주고 아이들이 납득을 해서 공부하는 방법으로 해야 효율적이라는 것입니다.
